theoria
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Normes----------
protasi 1:Esto ||.|| mia norma sto 
Rn.Tote h synartisi f(x)=||x|| 
einai synexis sro Rn os pros ti ||.||
kai ti ||.||oo.

Apod:  Apo orismo vormas :
||x+v||<=||v|| kai ||x||=||x+v-v||
<=||x+v||+||v|| opote ||x+v||-||x||
>=-||v||.Ara telika:
| f(x+v)-f(x) | = | ||x+v||-||x|| |
<=||v||.
Os pros tin kanoniki basi {ei}(i=1..n) 
tou Rn to v mporei na ekfrasthei:
v=sum(i=1..n)(viei).Exoume tote:
||v||<=sum(i=1..n)(||vi||.||ei||)
<=max|vi|sum(i)(||ei||)=||v||oo . M
ara: | f(x+v)-f(x) | <= ||v|| <=M.||v||oo

protasi 2:Esto ||.||a kai ||.||b dio
normes sto Rn.Tote iparxoun statheres
c>0 kai C>0 : c||x||a<=||x||<=C||x||b

Apod:Arkei na apod oti gia opiadipote 
norma ||.|| sto Rn iparxoun m kai M :
m||x||oo<=||x||<=M||x||oo.To sinolo S
S={u anikei Rn :||u||oo=1}
einai kleisto kai fragmeno,ara simpages
kai i f(x)=||x|| einai sinexis os pros
ti norma ||.||oo (protasi1).Ara iparxoun
m kai M : m=min||u||>0 M=max||u||>0 
            u sto S      u sto S
Gia x anikei Rn,x<>0,exoume: x/||x||oo
anikei S ara: m<=(x/||x||oo)<=M ..oed.

theorima1:Esto ||.|| mia norma sto Rn.
Tote i ekfrasi: ||A||=sup(||Ax||/||x||)
              (1)     x<>0
                     =max||Au||
                      ||u||=1
orizeimia antistoixi norma sto Mn me:
 (2)   ||Ax||<=||A|| ||x||

Apod:Apo tin protasi 2 exoume:
sup(||Ax||/||x||)<=sup(M/m)(||Ax||oo/||x||oo)
x<>0               x<>0
<=sup(M/m)(max sum(j)(|aijxj|)/max|xi|)
  x<>0      i                   i
<=M/m max sum(j)(|aij|)=c<+oo
I anisotita (2) prokiptei amesos.
Epipleon: sup(||Ax||/||x||)=sup||A.x/||x||||
          x<>0              x<>0
=sup||Au||=max||Au||
 ||u||=1   ||u||=1
afou i sinartisi g(x)=||Ax|| einai 
sinexis  sto simpages iposinolo 
{u:||u||=1} :
|g(x+v)-g(x)|<=||Av||<=||A|| ||v||
Tora oi idiotites a,b,c tou orism.norm.
pinaka profanos isxioun.Gia tin d exoume:
Esto u anikei Rn me ||u||=1 tetoio oste:
||A+B||=||(A+B)u|| tote exoume:
||A+B||=||(A+B)u||<=||Au||+||Bu||
<=||A||+||B||
Paromia gia tin e esto u me ||u||=1:
||AB||=||ABu||,tote:||AB||<=||Au||||Bu||
<=||A|| ||B||

Theorima2:Esto ||A||oo,||A||1,||A||2 oi 
fisikes normes dianismatos ||x||oo,||x||1,
||x||2.Isxuei:
1.||A||oo=||A||g       2.||A||1=||A||s
3.||A||2=[r(ATA)]**1/2
        =r(A) an A simmetrikos

Apod: 1.Gia kathe u me ||u||oo=1 exoume:
||Au||oo=max | sum(j)(aij*uj) |
         i
        <=max ( sum(j)(|aij||uj|) )
         i
        <=max|uj|*max sum(j)(|aij|)
          j       i
         =max sum(j)(|aij|)=||A||g
          i
Esto tora m tetoio oste:||A||g=sum(j)(|amj|)
Orizoume to dianisma V me   1 an amj>=0
                        vj=-1 an amj<0
Profanos ||v||oo=1 kai ||Av||oo>=
||(Av)||m=|sum(j)(amjvj)|=sum(j)(|amj|)
=||A||g
2.Gia kathe u,me ||u||1=1 exoume
||Au||1=sum(i)(|sum(j)(aijuj)|)
<=sum(i,j)(|aij||uj|)=sum(j)(|uj|sum(i)(|aij|)
<=(sum(j)|uj|)max sum(i)(|aij|)=||A||s
Esto tora m tetoio oste: ||A||s=sum(i)|aim|
Tote gia em=(0,0,...,1,0,0,..,0) exoume
||em||=1 kai:        m
||Aem||1=sum(i)(|aim|)=||A||s
3.O pinakas ATA einai simmetrikos kai 
exei pragmatikes,profanos mi arnhtikes 
idiotimes l'1,..l'n kai antistoixa 
idiodianismata u1,..,un ta opoia apote
loun mia orthokanoniki basi sto Rn.E
xoume tote gia x anikei sto Rn:
                      T   T
x=sum(j)(cjuj) , ||x||2 =x *x=
               T
=(sum(i)(ciui)) (sum(j)(cjuj))
=sum(i,j)(cicjuiTuj)=sum(i)(ci**2)
            T       T   T
||Ax||2=(Ax) *(Ax)=x *(A Ax)=
              T
(sum(i)(ciui)) (sum(j)(l'jcjuj))=
=sum(i)(l'ici**2)
Epomenos (||Ax||2 **2)/(||x||2 **2)
=sum(i)(l'ici**2)/sum(i)(ci**2)
<=maxl'i=r(ATA)
   i
Eksalou,an l'k=maxl'i=r(ATA) tote
                i
              T  T        T
||Auk||2 **2 =ukA Auk=l'kukuk=l'k=
r(ATA)||uk||2 **2
Sinepos,||A||2 **2=sup||Ax||2 **2/ 
||x||2 **2=r(ATA)  x<>0

Thoerima3:Esto Ax=b ena grammiko 
sistima,||.|| mia norma sto Rn...An
||DA||/||A||<1/m kai b<>0 tote:
||Dx||/||x||<=m(||DA||/||A||+||Db||/||b||)
/(1-m||DA||/||A||) anisot.sxet.sfalmaton           

Apod:Gia to sistima Ax=b,mikri metaboli 
ton dedomenon A,b dinei:
(A+DA)(x+Dx)=b+Db ->(Ax=b)ADx+DA(x+DX)=Db
->Dx=A**-1(-DA)(x+Dx)+A**-1Db opote:
||Dx||<=||A**-1||||DA||||x+Dx||
+||A**-1||||Db|| kai (afou A<>0,b<>0,x<>0)
||Dx||/||x||<=||A**-1||||A||||DA||||x+Dx||
/||A||||x|| + ||A**-1||||A||||Db||/
||A||||x|| <=m(||DA||||x+Dx||/||A||||x||
+||Db||/||b||....

Theorima4:Gia enan omalo pinaka A
isxiei: m(A)=max||Au||/min||Au||
             ||u||=1   ||u||=1

Apod:Exoume:||A**-1||=sup||A**-1x||/||x||
kai thet. y=A**-1x:   x<>0
||A**-1||=sup||y||/||Ay||=sup1/||A* y/||y||||
          y<>0            y<>0
=sup1/||Au||=1/inf||Au||=1/min||Au||
 ||u||=1       ||u||=1     ||u||=1
Ara m(A)=||A||||A**-1||=max||Au||*1/min||Au||
                        ||u||=1     ||u||=1
Geniki epanal method------

Theorima1:I akoluthia {xk}(k=0..oo) pou 
kataskeuazetai me tin pepanal.method 
sigklinei...an kai mono an limC**k=0 (1)
                           k->oo
Apod:Exoume tis sxeseis:x=Cx+d ,
xk=Cxk-1+d Me afairesh kata meli:
xk-x=C(xk-1-x)=C**2(xk-2-x)=...=
C**k(xo-x).An tora Ck->0 tote:
lim||C**k||=0 gia kapoia fisiki norma
k->oo
kai apo tin anisotita 
||xk-x||<=||C**k||||xo-x|| prokuptei
oti i akolouthia sigklinei sto x gia 
kathe xo. Antistrofa,an xk->x gia kathe
xo,tote ||xk-x||1->0.Thetontas diadoxika:
xo=x+ej (j=1..n) opou ej=(0,0,...,1,0,..0)
                                  j
blepoume oti xk->x=C**k ej=(stili tou 
C**k)->0 otan k->oo gia kathe j.
Epomenos ||C**k||1->0 kai i (1) isx.

Theorima2:I akolouthia {xk} sigklinei..
an kai mono an r(C)<1 
(i isodin.iparxei fisiki norma ||C||<1) 

Apod:An i akolouthia {xk} sigklinei,tote 
exoume(theor1) lim||C**k||=0 gia kapoia
               k->oo
fisiki norma.Gia kathe idiotimi li kai 
antistoixo idiodian. yi tou C, me ||yi||=1
exoume: ||C**k||=max||C**k y||=
||li**k y||=||li**k||->0 otan k->oo, ara 
|li||<1 gia i=1..n kai r(C)<1.
-Antistrofa,an r(C)<1 iparxei fisiki norma
tetoia: r(C)<=||C||<1.Tote:
||C**k||<=||C||**k ->0 kai ara i method.
sigklinei.

