theoria
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Normes----------
protasi 1:Esto ||.|| mia norma sto 
Rn.Tote h synartisi f(x)=||x|| 
einai synexis sro Rn os pros ti ||.||
kai ti ||.||oo.

Apod:  Apo orismo vormas :
||x+v||<=||v|| kai ||x||=||x+v-v||
<=||x+v||+||v|| opote ||x+v||-||x||
>=-||v||.Ara telika:
| f(x+v)-f(x) | = | ||x+v||-||x|| |
<=||v||.
Os pros tin kanoniki basi {ei}(i=1..n) 
tou Rn to v mporei na ekfrasthei:
v=sum(i=1..n)(viei).Exoume tote:
||v||<=sum(i=1..n)(||vi||.||ei||)
<=max|vi|sum(i)(||ei||)=||v||oo . M
ara: | f(x+v)-f(x) | <= ||v|| <=M.||v||oo

protasi 2:Esto ||.||a kai ||.||b dio
normes sto Rn.Tote iparxoun statheres
c>0 kai C>0 : c||x||a<=||x||<=C||x||b

Apod:Arkei na apod oti gia opiadipote 
norma ||.|| sto Rn iparxoun m kai M :
m||x||oo<=||x||<=M||x||oo.To sinolo S
S={u anikei Rn :||u||oo=1}
einai kleisto kai fragmeno,ara simpages
kai i f(x)=||x|| einai sinexis os pros
ti norma ||.||oo (protasi1).Ara iparxoun
m kai M : m=min||u||>0 M=max||u||>0 
            u sto S      u sto S
Gia x anikei Rn,x<>0,exoume: x/||x||oo
anikei S ara: m<=(x/||x||oo)<=M ..oed.

theorima1:Esto ||.|| mia norma sto Rn.
Tote i ekfrasi: ||A||=sup(||Ax||/||x||)
              (1)     x<>0
                     =max||Au||
                      ||u||=1
orizeimia antistoixi norma sto Mn me:
 (2)   ||Ax||<=||A|| ||x||

Apod:Apo tin protasi 2 exoume:
sup(||Ax||/||x||)<=sup(M/m)(||Ax||oo/||x||oo)
x<>0               x<>0
<=sup(M/m)(max sum(j)(|aijxj|)/max|xi|)
  x<>0      i                   i
<=M/m max sum(j)(|aij|)=c<+oo
I anisotita (2) prokiptei amesos.
Epipleon: sup(||Ax||/||x||)=sup||A.x/||x||||
          x<>0              x<>0
=sup||Au||=max||Au||
 ||u||=1   ||u||=1
afou i sinartisi g(x)=||Ax|| einai 
sinexis  sto simpages iposinolo 
{u:||u||=1} :
|g(x+v)-g(x)|<=||Av||<=||A|| ||v||
Tora oi idiotites a,b,c tou orism.norm.
pinaka profanos isxioun.Gia tin d exoume:
Esto u anikei Rn me ||u||=1 tetoio oste:
||A+B||=||(A+B)u|| tote exoume:
||A+B||=||(A+B)u||<=||Au||+||Bu||
<=||A||+||B||
Paromia gia tin e esto u me ||u||=1:
||AB||=||ABu||,tote:||AB||<=||Au||||Bu||
<=||A|| ||B||
