Thoerima3:Esto Ax=b ena grammiko 
sistima,||.|| mia norma sto Rn...An
||DA||/||A||<1/m kai b<>0 tote:
||Dx||/||x||<=m(||DA||/||A||+||Db||/||b||)
/(1-m||DA||/||A||) anisot.sxet.sfalmaton           

Apod:Gia to sistima Ax=b,mikri metaboli 
ton dedomenon A,b dinei:
(A+DA)(x+Dx)=b+Db ->(Ax=b)ADx+DA(x+DX)=Db
->Dx=A**-1(-DA)(x+Dx)+A**-1Db opote:
||Dx||<=||A**-1||||DA||||x+Dx||
+||A**-1||||Db|| kai (afou A<>0,b<>0,x<>0)
||Dx||/||x||<=||A**-1||||A||||DA||||x+Dx||
/||A||||x|| + ||A**-1||||A||||Db||/
||A||||x|| <=m(||DA||||x+Dx||/||A||||x||
+||Db||/||b||....

Theorima4:Gia enan omalo pinaka A
isxiei: m(A)=max||Au||/min||Au||
             ||u||=1   ||u||=1

Apod:Exoume:||A**-1||=sup||A**-1x||/||x||
kai thet. y=A**-1x:   x<>0
||A**-1||=sup||y||/||Ay||=sup1/||A* y/||y||||
          y<>0            y<>0
=sup1/||Au||=1/inf||Au||=1/min||Au||
 ||u||=1       ||u||=1     ||u||=1
Ara m(A)=||A||||A**-1||=max||Au||*1/min||Au||
                        ||u||=1     ||u||=1
Geniki epanal method------

Theorima1:I akoluthia {xk}(k=0..oo) pou 
kataskeuazetai me tin pepanal.method 
sigklinei...an kai mono an limC**k=0 (1)
                           k->oo
Apod:Exoume tis sxeseis:x=Cx+d ,
xk=Cxk-1+d Me afairesh kata meli:
xk-x=C(xk-1-x)=C**2(xk-2-x)=...=
C**k(xo-x).An tora Ck->0 tote:
lim||C**k||=0 gia kapoia fisiki norma
k->oo
kai apo tin anisotita 
||xk-x||<=||C**k||||xo-x|| prokuptei
oti i akolouthia sigklinei sto x gia 
kathe xo. Antistrofa,an xk->x gia kathe
xo,tote ||xk-x||1->0.Thetontas diadoxika:
xo=x+ej (j=1..n) opou ej=(0,0,...,1,0,..0)
                                  j
blepoume oti xk->x=C**k ej=(stili tou 
C**k)->0 otan k->oo gia kathe j.
Epomenos ||C**k||1->0 kai i (1) isx.

Theorima2:I akolouthia {xk} sigklinei..
an kai mono an r(C)<1 
(i isodin.iparxei fisiki norma ||C||<1) 

Apod:An i akolouthia {xk} sigklinei,tote 
exoume(theor1) lim||C**k||=0 gia kapoia
               k->oo
fisiki norma.Gia kathe idiotimi li kai 
antistoixo idiodian. yi tou C, me ||yi||=1
exoume: ||C**k||=max||C**k y||=
||li**k y||=||li**k||->0 otan k->oo, ara 
|li||<1 gia i=1..n kai r(C)<1.
-Antistrofa,an r(C)<1 iparxei fisiki norma
tetoia: r(C)<=||C||<1.Tote:
||C**k||<=||C||**k ->0 kai ara i method.
sigklinei.

